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《中公版·2019考研数学：20年真题分类精讲（数学一）》包含高等数学、线性代数、概率论与数理统计三个科目：高等数学篇分为函数、极限与连续，一元函数微分学，一元函数积分学，中值定理，向量代数和空间解析几何，多元函数微分学，多元函数积分学，级数，常微分方程共九章；线性代数篇分为行列式，矩阵，向量，线性方程组，特征值和特征向量，二次型共六章；概率论与数理统计篇分为随机事件及其概率，随机变量及其分布，多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，数理统计与参数估计共五章。

每章开头都设有“本章考试要求”和“历年真题分布统计”，考生借此了解考试大纲对每章各个考点的基本要求，并了解历年真题对各章的考查重点。

此外，本书将20年真题按照不同的考点分类。

*，每个考点均配有“解题核心要点”，给出了与该考点有关的定理、公式、方法等，便于考生记忆。

第二，将真题按照考点分类，大部分真题的答案包括三部分：“思路分析”是对本题的主体思路和核心考点的概括；“解析”是本题的详细解题过程和步骤，部分题目一题多解；“评注”是对每种题型核心考点和解题方法的归纳。

第三，书中2003～2018年的真题均配有二维码，考生扫码即可观看对应题目的视频讲解。

篇高等数学

章函数、极限与连续

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一极限的性质

考点二无穷小量的比较

考点三极限的计算

考点四连续与间断

第二章一元函数微分学

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一导数与微分

考点二导数的计算

考点三切线与法线

考点四单调性与凹凸性

考点五极值与拐点

考点六渐近线

考点七原函数及导函数

第三章一元函数积分学

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一不定积分的计算

考点二定积分的比较

考点三定积分的计算

考点四反常积分

考点五变上限积分

考点六定积分的应用

第四章中值定理

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一罗尔定理

考点二拉格朗日中值定理

考点三泰勒中值定理

第五章向量代数和空间解析几何

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一直线与平面

考点二空间距离

考点三简单的曲面

第六章多元函数微分学

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一多元函数微分学的概念

考点二偏导数的计算

考点三方向导数与梯度

考点四极值

考点五多元函数微分学的几何应用

第七章多元函数积分学

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一二重积分

考点二三重积分

考点三类曲线积分

考点四第二类曲线积分

考点五类曲面积分

考点六第二类曲面积分

考点七综合应用

第八章级数

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一收敛性的判别

考点二幂级数的收敛域

考点三幂级数展开

考点四幂级数求和

考点五傅里叶级数

第九章常微分方程

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一一阶微分方程

考点二高阶微分方程

考点三应用问题

第二篇线性代数

章行列式

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一数值型行列式

考点二抽象型行列式

第二章矩阵

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一矩阵的运算

考点二逆矩阵

考点三伴随矩阵

考点四矩阵方程

考点五初等矩阵

考点六矩阵的秩

第三章向量

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一线性表出

考点二线性相关

考点三向量空间

第四章线性方程组

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一解的判定

考点二解的结构

考点三含参数的线性方程组

考点四同解与公共解

考点五线性方程组的几何运用

第五章特征值和特征向量

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一特征值与特征向量的计算

考点二矩阵的相似

考点三相似对角化

考点四实对称矩阵

考点五综合运用

第六章二次型

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一二次型的合同标准形

考点二惯性指数与合同规范形

考点三正定二次型

第三篇概率论与数理统计

章随机事件及其概率

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一简单概型

考点二条件概率与独立性

考点三概率的基本公式

第二章随机变量及其分布

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一分布函数和概率密度

考点二常见分布

考点三随机变量函数的分布

第三章多维随机变量及其分布

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一分布律和概率密度

考点二边缘分布与条件分布

考点三常见分布

考点四独立性

考点五随机变量函数的分布

第四章随机变量的数字特征

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一基本定义

考点二常见分布的数字特征

考点三常用公式

考点四相关系数

考点五切比雪夫不等式

第五章数理统计与参数估计

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一常见统计量

考点二统计分布

考点三参数估计

考点四区间估计

考点五假设检验

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　　篇高等数学

　　1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。

　　2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

　　3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

　　4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

　　5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系。

　　6.掌握极限的性质及四则运算法则。

　　7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

　　8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。

　　9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

　　10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、值和小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

　　1999～2018年本章真题分布统计

　　考点

　　年份

　　极限的性质

　　无穷小量的比较

　　极限的计算

　　连续与间断

　　总计

　　1999年

　　3分

　　3分

　　2000年

　　5分

　　5分

　　2001年

　　0分

　　2002年

　　6分

　　6分

　　2003年

　　4分

　　4分

　　8分

　　2004年

　　4分

　　4分

　　2005年

　　0分

　　2006年

　　4分+12分

　　16分

　　2007年

　　4分

　　4分

　　8分

　　2008年

　　4分

　　9分

　　13分

　　2009年

　　4分

　　4分

　　2010年

　　4分+4分

　　8分

　　2011年

　　10分+10分

　　20分

　　（续表）

　　考点

　　年份

　　极限的性质

　　无穷小量的比较

　　极限的计算

　　连续与间断

　　总计

　　2012年

　　0分

　　2013年

　　4分

　　4分

　　2014年

　　10分

　　10分

　　2015年

　　10分

　　4分

　　14分

　　2016年4分4+4分

　　12分

　　2017年10分4分

　　14分

　　2018年4分+10分

　　14分

　　总计

　　12分

　　32分

　　107分

　　12分

　　163分

　　概述：本章是高等数学的基础，几乎每年都会考查，且选择题、填空题和解答题均会涉及。本章的考题分布有两大特点：一是分布集中，大部分的题目考查的是极限的计算；二是联系紧密，无穷小量的比较、连续及间断等从本质上讲考查的就是极限的计算。所以，考生要重点掌握各类极限的计算方法。

　　考点一极限的性质

　　（一）解题核心要点

　　本题型主要考查极限收敛的条件及性质，常见的结论有：

　　极限的四则运算法则

　　收敛＋收敛＝收敛，收敛＋发散＝发散，发散＋发散＝？；

　　收敛×收敛＝收敛，收敛×发散=发散，收敛≠0，

　　？，收敛=0，发散×发散=？。

　　（上述结论中的问号表示结果不确定。）

　　夹逼定理

　　若存在自然数N，当n>N时，恒有yn≤xn≤zn，且有limn→∞yn=limn→∞zn=a，则有limn→∞xn=a。

　　单调收敛定理

　　单调递增有上界的数列必有极限，单调递减有下界的数列必有极限，单调无界的数列极限为+∞或-∞。

　　极限的保号性

　　有两个数列{xn}与{yn}：

　　若从某一项N开始，以后所有项都有xn≥yn，则limn→∞xn≥limn→∞yn；

　　若有limn→∞xn>limn→∞yn，则从某一项N开始，以后所有项都有xn>yn。

　　（二）历年真题精讲

　　视频讲解

　　1.（2003年，4分）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且limn→∞an=0,limn→∞bn=1,limn→∞cn=∞,则必有（）

　　（A）an

　　（C）极限limn→∞ancn不存在。（D）极限limn→∞bncn不存在。

　　【答案】D

　　【思路分析】选项A、B考查极限的保号性，与保号性的相关结论相对比，可举反例；选项C、D考查极限的收敛性，结合极限收敛性的相关结论进行判断。

　　【解析】由于limn→∞an

0，使得当n>N时，an

　　类似地，选项B也是错误的。例如bn=1,cn=n2，n=1,2时不满足bn

　　由于limn→∞an=0,limn→∞cn=∞，因此limn→∞ancn是0·∞型的未定式，有可能收敛也有可能发散，所以选项C是错误的。例如an=2n,cn=n2，极限limn→∞ancn=1。

　　证明limn→∞bncn发散，可采用反证法。假设limn→∞bncn是收敛的，由于limn→∞bn=1≠0，可知limn→∞cn=limn→∞bncnbn=limn→∞bncnlimn→∞bn也是收敛的，与已知条件矛盾，假设不成立，也即limn→∞bncn是发散的。由此正确的选项是D。

　　选项A、B容易和极限的保号性混淆：若limn→∞an

0，当n>N时，有an

N）才成立，无法保证对每一项都成立。

　　视频讲解

　　2.（2007年，4分）设函数f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数,且f″(x)>0,令un=f(n)(n=1,2,…)，则下列结论正确的是()

　　(A)若u1>u2,则{un}必收敛。(B)若u1>u2,则{un}必发散。

　　(C)若u1

　　【答案】D

　　【思路分析】对于这种类型的题目，常用举反例法。

　　【解析】方法一：设f(x)=x2,则f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数，且f″(x)>0,u1

　　设f(x)=1x,则f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数，且f″(x)>0,u1>u2，但{un}={1n}收敛，排除B。

　　设f(x)=-lnx，则f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数，且f″(x)>0,u1>u2，但{un}={-lnn}发散，排除A。故选D。

　　方法二：由拉格朗日中值定理，有

　　un+1-un=f(n+1)-f(n)=f′(ξn)(n+1-n)=f′(ξn),

　　其中n＜ξn＜n+1(n=1,2,…)。

　　由f″(x)>0知，f′(x)单调增加，故

　　f′(ξ1)

　　un+1=u1+∑nk=1(uk+1-uk)=u1+∑nk=1f′(ξk)>u1+nf′(ξ1)=u1+n(u2-u1),

　　于是当u2-u1>0时，有limn→∞un+1=+∞，故选D。

　　视频讲解

　　3.（2008年，4分）设函数f（x）在（-∞,+∞）内单调有界，xn为数列，下列命题正确的是（）

　　（A）若xn收敛，则f（xn）收敛。（B）若xn单调，则f（xn）收敛。

　　（C）若{f（xn）}收敛，则{xn}收敛。（D）若{f（xn）}单调，则{xn}收敛。

　　【答案】B

　　【思路分析】本题考查数列收敛问题。判断数列收敛主要用到单调有界定理。

　　【解析】由f(x)有界可得{f(xn)}也有界，由f(x)单调且{xn}也单调可得{f(xn)}单调，此时{f(xn)}单调有界，故选B。

　　实际上也可以举特例判断：

　　如果令xn=n，则{f(xn)}单调，由单调有界收敛定理可知，{f(xn)}是收敛的，但此时{xn}是发散的，排除C和D。

　　本题容易引起混淆的是选项A，{xn}收敛时，假设limn→∞xn=a，此时要得到limn→∞f(xn)也存在，必须有f(x)在x=a处连续的条件。但题目中的条件并不能保证f(x)在x=a处连续，所以A项不正确。例如：f(x)=arctanx－1,x≤0,

　　arctanx+1,x>0,xn=(－1)nn。

　　考点二无穷小量的比较

　　（一）解题核心要点

　　设在某极限过程x→□中，函数α（x）,β（x）都为无穷小量，并且都不为0。

　　如果limx→□α（x）β（x）=0，则称当x→□时，α（x）为β（x）的高阶无穷小量，或β（x）为α（x）的低阶无穷小量，记作α（x）=o［β（x）］。

　　如果limx→□α（x）β（x）=C≠0，则称当x→□时，α（x）与β（x）为同阶无穷小量。

　　在同阶无穷小中，如果limx→□α（x）β（x）=1，则称当x→□时，α（x）与β（x）为等价无穷小量，记作α（x）~β（x）。

　　按照上述定义，要比较两个无穷小量，直接相除取极限即可。

　　（二）历年真题精讲

　　1.（2002年，6分）设函数f（x）在x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且f（0）≠0,f′（0）≠0,若af（h）+bf（2h）-f（0）在h→0时是比h高阶的无穷小，试确定a,b的值。

　　【思路分析】相当于已知limh→0af（h）+bf（2h）-f（0）h=0，可以先借助极限的形式得出分子趋近于0，再通过洛必达法则或是导数的定义求出极限；也可以直接写出f（h）和f（2h）的泰勒展开式。

　　【解析】方法一：由题设条件知

　　limh→0［af（h）+bf（2h）-f（0）］=（a+b-1）f（0）=0，

　　由于f（0）≠0，所以a+b-1=0。又由洛必达法则，

　　limh→0af（h）+bf（2h）-f（0）h

　　=limh→0afh-f0h+2bf2h-f02h+a+b-1f0h

　　=limh→0af′（h）+2bf′（2h）=（a+2b）f′（0）,

　　由于af（h）+bf（2h）-f（0）在h→0时是比h高阶的无穷小，由高阶无穷小的定义知上式等于0，又由f′（0）≠0,得a+2b=0。

　　解方程组a+b-1=0，

　　a+2b=0，得a=2,b=-1。

　　方法二：分别将f（h）,f（2h）按带佩亚诺余项的泰勒公式展开到o（h），有

　　f（h）=f（0）+f′（0）h+o（h），f（2h）=f（0）+2f′（0）h+o（h），

　　从而

　　af（h）+bf（2h）-f（0）=（a+b-1）f（0）+（a+2b）f′（0）h+o（h）。

　　由题设条件知，a+b-1=0,a+2b=0,所以a=2,b=-1。

　　方法三：由题设条件，有

　　limh→0［af（h）+bf（2h）-f（0）］=（a+b-1）f（0）=0。

　　由于f（0）≠0，所以a+b-1=0。再将a=1-b代入limh→01h［af（h）+bf（2h）-f（0）］，凑成导数定义形式，有

　　0=limh→0af（h）+bf（2h）-f（0）h=limh→0（1-b）f（h）+bf（2h）-f（0）h

　　=limh→0［f（h）-f（0）h-bf（h）-f（0）h+2bf（2h）-f（0）2h］

　　=f′（0）-bf′（0）+2bf′（0）=（1+b）f′（0）,

　　从而a=2,b=-1。

　　方法一中使用洛必达法则的合理性在于函数f（x）有连续的导数，因为此时有limh→0f′（h）=f′（0）。如果把条件减弱为f（x）可导就不能使用洛必达法则了，因为此时仅知道f′（h）是存在的，但极限limh→0f′（h）无法确定等于多少。

　　视频讲解

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