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如何一眼识破庞氏骗局、做好理财、投资？如何在购房贷款时做出最优选择？如何增加简历通过初筛的几率？如何规划公司的发展曲线？更重要的是，如何提升自己的认知水平？如何改变自己的思维方式？

如果你也关注这些问题，希望借助数学思维来更好地提升自己、认知世界，这本 书希望你一定要看。

这是一本写给所有人的数学通识讲义，书中通过关键知识点串联起整个数学体系，帮助你逐步建立起属于自己的数学知识结构。而贯穿全书的数学发展史，其实就是人类认知的发展史，你可以借此逐步训练自己的认知：从直观到抽象，从静态到动态，从宏观到微观，从随意到确定再到随机。

对于理工专业的读者，这本书能够帮助你更好地梳理以往的数学知识，站在更高的地方更全面地看待数学以及人类知识体系；对于非理工专业的读者，则能更好地训练自己的数学思维，让你直击本质、化繁为简，做出正确的决策。

总 序 001

前 言 009

基础篇

第 1 章 理解数学的线索：从毕达哥拉斯讲起

1.1 勾股定理：为什么在西方叫毕达哥拉斯定理 022

1.2 数学的预见性：无理数是毕达哥拉斯定理的推论 030

1.3 数学思维：如何从逻辑出发想问题 036

1.4 黄金分割：数学和美学的桥梁 045

1.5 优选法：华罗庚化繁为简的神来之笔 058

第 2 章 数列与级数：承上启下的关键内容

2.1 数学的关联性：斐波那契数列和黄金分割 070

2.2 数列变化：趋势比当下重要 075

2.3 级数：传销骗局里的数学原理 079

2.4 等比级数：少付一半利息，多获得一倍回报 092

第 3 章 数学边界：数学是万能的吗

3.1 数学的局限性：从勾定理到费马大定理 104

3.2 探寻数学的边界：从希尔伯特第十问题讲起 108

数字篇

第 4 章 方程：新方法和新思维

4.1 鸡兔同笼问题：方程这个工具有什么用 116

4.2 一元三次方程的解法：数学史上著名的发明权之争 126

4.3 虚数：虚构的工具有什么用 135

第 5 章 无穷大和无穷小：从数值到趋势

5.1 无穷大：为什么我们难以理解无限大的世界 143

5.2 无穷小：芝诺悖论和它的破解 149

5.3 第二次数学危机：牛顿和贝克莱的争论 156

5.4 极限：重新审视无穷小的世界 163

5.5 动态趋势：无穷大和无穷小能比较大小吗 171

几何篇

第 6 章 基础几何学：公理化体系的建立

6.1 几何学的起源：为什么几何学是数学中最古老的分支 186

6.2 公理化体系：几何学的系统理论从何而来 194

第 7 章 几何学的发展：开创不同数学分支融合的先河

7.1 非欧几何：换一条公理，几何学会崩塌吗 205

7.2 圆周率：数学工具的意义 214

7.3 解析几何：如何用代数的方法解决几何问题 221

7.4 体系的意义：为什么几何能为法律提供理论基础 232

代数篇

第 8 章 函数：重要的数学工具

8.1 定义和本质：从静态到动态，从数量到趋势 244

8.2 因果关系：决定性和相关性的差别 253

第 9 章 线性代数：超乎想象的实用工具

9.1 向量：数量的方向与合力的形成 262

9.2 余弦定理：文本分类与简历筛选 278

9.3 矩阵：多元思维的应用 284

微积分篇

第 10 章 微分：如何理解宏观和微观的关系

10.1 导数：揭示事物变化的新规律 300

10.2 微分：描述微观世界的工具 307

10.3 奇点：变化连续和光滑是稳定性的基础 312

第 11 章 积分：从微观变化了解宏观趋势

11.1 积分：微分的逆运算 323

11.2 积分的意义：从细节了解全局 327

11.3 最优化问题：用变化的眼光看最大值和最小值 333

11.4 发明权之争：牛顿和莱布尼茨各自的贡献 342

*11.5 体系的完善：微积分公理化的过程 348

概率和数理统计篇

第 12 章 随机性和概率论：如何看待不确定性

12.1 概率论：一门来自赌徒的学问 364

12.2 古典概率：拉普拉斯对概率的系统性论述 366

12.3 伯努利试验：随机性到底意味着什么 371

12.4 均值与方差：理想与现实的差距 378

第 13 章 小概率和大概率：如何资源共享和消除不确定性

13.1. 泊松分布：为什么保险公司必须有很大的客户群 386

13.2 高斯分布：大概率事件意味着什么 393

*13.3 概率公理化：理论和现实的统一 404

第 14 章 前提条件：度量随机性的新方法

14.1 前提条件：条件对随机性的影响 415

14.2 差异：概率、联合概率和条件概率 421

14.3 相关性：条件概率在信息处理中的应用 430

14.4 贝叶斯公式：机器翻译是怎样工作的 433

第 15 章 统计学和数据方法：准确估算概率的前提

15.1 定义：什么是统计学 442

15.2 实践：怎样做好统计 446

15.3 古德 - 图灵折扣估计：如何防范黑天鹅事件 450

15.4 换个眼光看世界：概率是一种世界观，统计是一种方法论 459

终篇

第 16 章 数学在人类知识体系中的位置

16.1 数学和哲学：一头一尾的两门学科 468

16.2 数学和自然科学：数学如何改造自然科学 474

16.3 数学和逻辑学：为什么逻辑是一切的基础 480

16.4 数学和其他学科：为什么数学是更底层的工具 486

16.5 未来展望：希尔伯特的讲演 493

附录

附录 1 黄金分割等于多少 497

附录 2 为什么斐波那契数列相邻两项的比值收敛于黄金分割 498

附录 3 等比级数求和算法 500

附录 4 一元 N 次方程 x N =1 的解 501

附录 5 积分的其他两种计算方法 503

附录 6 大数定律 505

附录 7 希尔伯特退休讲演的英文译文 507

终篇

第 16 章 数学在人类知识体系中的位置

21.1 数学和哲学 /458

21.2 数学和自然科学 /465

21.3 数学和逻辑学 /469

21.4 数学和其他学科 /473

21.5 著名数学家希尔伯特退休前的讲演 /478

吴军

博士，知名自然语言处理和搜索专家，硅谷风险投资人。他的著作《数学之美》荣获国家图书馆第八届文津图书奖、第五届中华优秀出版物奖，《文明之光》被评为2014年“中国好书”，《浪潮之巅》荣获“蓝狮子2011年十大极佳商业图书”奖。

吴军博士曾经担任谷歌研究员，设计了谷歌中、日、韩文搜索算法以及谷歌的自然语言分析器。2010—2012年担任腾讯负责搜索和搜索广告等业务的副总裁，后回到谷歌负责计算机自动问答项目。

吴军博士自2008年开始从事风险投资，并于2014年作为创始合伙人创立了硅谷丰元资本风险投资基金。他也是上海交通大学客座研究员和约翰•霍普金斯大学工学院董事。

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和自然科学不同的是，在数学上，决不允许用实验来验证一个假说（在数学上常常被称为猜想）正确与否。数学的结论只能从逻辑出发，通过归纳或者演绎得出来。它要么完全正确，没有例外；要么会因为一个例外（也被称为反例），被完全否定掉，没有大致正确的说法。这里面最著名的例子就是哥德巴赫猜想，即任一大于2的偶数都可以写成两个素数之和。今天人们利用计算机，在可以验证的范围内，都验证了这个猜想是对的，但是因为没有穷尽所有的可能，就不能说猜想被证明了。因此，我们依然不能在这个猜想的基础上，构建其他的数学定理。

定理和定律这两个词在汉语中写法和读音都相似，容易混淆。但是在英语中，定律是law，意思是一般性的规律，而定理是 theorem，是严格证明、没有例外的规律，它们的差异是非常明显的。

实上，牛顿是从物理学研究的需要出发，研究出无穷小这个的，而菜布尼茨则是从哲学和逻辑学出发，引这个概念的，所以途同归。他们二人的工作，提升了人类对于数的认知。

讲到 Mathematica：这款软件，我还要再说一句题外话，这款软件可以推导你能遇到的几乎所有数学公式，他的编写者斯蒂芬·沃尔夫拉姆（ Stephen Wolfram）是一位真正的天オ。他中学时从著名的伊顿公学退学，因为觉得学校不够好；然后进了牛津，但两年后又退学了，因为觉得牛津也不够好；后来又跑到加州理工，20岁便博士毕业了。因此我想对很多家长说，不要高估了自己孩子的智商，相比沃尔夫拉姆或者陶哲轩这样的人，我们普通人无论是智商还是数学天赋都差太远。对大部分人来说，老老实实学好数学的基本方法、理解其中的思维方式最重要，不要苦练解题技巧。需要技巧的时候，我们应该善于利用沃尔夫拉姆这些人的大脑。

陶哲轩也是一个牛人。

通过数列我们对数学应该有一种新的认识：从考察一个个孤立的数，变成揭示一些规律和趋势。在数列中，最重要的趋势就是元素的增减和增减的速率。当然在现实中，还有振荡的趋势，它在解决最优化问题中很重要。

数学期望值（均值）讲的是在同样的条件下多次重复某个随机试验，所得到结果的平均值。如果没有做大量实验的条件，可以通过将每一个可能的结果按照其发生的概率加权平均得到数学期望值。

数学期望值相同，但是概率分布函数形态不一定相同，为了描述他们的区别，我们需要引入新的概念--平方差。

平方差即方差，是指每一个随机试验的结果a和数学期望u差异的平方并按照概率加权p(a)·(a-u)^2。

一个随机变量的概率分布曲线越平，方差越大；曲线越向中间集中，方差越小。即随机性越大方差越大随机性越小方差越小。

由于方差是均值的平方，单位不同一般不能直接比较，所以会用方差的平方根即标准差来衡量概率分布的随机性。即随机性越大标准差越大随机性越小标准差越小。

如果我们把自然科学、数学和哲学的层次简单化成一张图的话，应该是图这样一个结构：数学是基础，上面有各种自然科学，最顶上则又有哲学。

我们通常会觉得这一头一尾的数学和哲学是没有实际用途的，中间实用的自然科学才值得我们学习。但是，无用之用是为大用，一个人只有在深刻理解了人类知识的普遍性原理之后，才能站在一个制高点往下俯视。这也是数学和哲学的共同之处。

书籍介绍

如何一眼识破庞氏骗局、做好理财、投资？如何在购房贷款时做出最优选择？如何增加简历通过初筛的几率？如何规划公司的发展曲线？更重要的是，如何提升自己的认知水平？如何改变自己的思维方式？

如果你也关注这些问题，希望借助数学思维来更好地提升自己、认知世界，这本 书希望你一定要看。

这是一本写给所有人的数学通识讲义，书中通过关键知识点串联起整个数学体系，帮助你逐步建立起属于自己的数学知识结构。而贯穿全书的数学发展史，其实就是人类认知的发展史，你可以借此逐步训练自己的认知：从直观到抽象，从静态到动态，从宏观到微观，从随意到确定再到随机。

对于理工专业的读者，这本书能够帮助你更好地梳理以往的数学知识，站在更高的地方更全面地看待数学以及人类知识体系；对于非理工专业的读者，则能更好地训练自己的数学思维，让你直击本质、化繁为简，做出正确的决策。