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本书引自美国Springer出版社，是“盖尔范特初中数学新思维”系列丛书中的一本。本书以提出问题、给出所有解题方法、讲解解题思路的顺序，将学生在初中阶段涉及的三角函数问题贯穿起来，让学生在理解概念的同时灵活应用。

译者序 i

前言 iii

第1章 三角函数 1

1.1 三角函数，新在何处？ 1

1.2 直角三角形 5

1.3 勾股定理 6

1.4 我们在直角三角形家族中最要好的朋友们 8

1.5 我们在直角三角形家族中第二要好的朋友们 10

1.6 一些标准的记号 12

附录 13

第2章 三角形中的三角比 20

2.1 sinα的定义 20

2.2 计算隐藏的正弦 22

2.3 余弦比 23

2.4 正弦与余弦之间的一个关系 24

2.5 一些记号 25

2.6 正弦与余弦之间的另一个关系式 26

2.7 我们第二要好的朋友们（和正弦比） 26

2.8 sin90°的值是多少？ 28

2.9 一次探索：和可以有多大？ 29

2.10 又一次的探索：积可以有多大？ 30

2.11 更多的比值，更多的三角函数 31

第3章 三角比之间的关系 34

3.1 正弦与它的亲戚们 34

3.2 代数还是几何？ 36

3.3 关于名字的一个注记 37

3.4 恒等式危机？ 38

3.5 关于正割和余割的恒等式 40

3.6 一个引理 41

3.7 一些不等式 42

3.8 计算器与表格 43

3.9 从一个角的正弦值得到它的度数值 45

3.10 解直角三角形 46

3.11 影子 47

3.12 正弦比的另一种途径 48

附录 几何学复习 51

第4章 三角形内的关系 55

4.1 三角形的几何 55

4.2 全等定理与三角函数 56

4.3 正弦与高 57

4.4 钝角三角形 58

4.5 正弦定律 59

4.6 外接圆半径 61

4.7 三角形的面积 62

4.8 两个注记 65

4.9 余弦定律 65

附录 三大理念及其应用 69

第5章 角与旋转 77

5.1 测量旋转角 77

5.2 旋转与角度 78

5.3 所有角的三角函数 79

5.4 带旋转角的计算 82

5.5 奇函数与偶函数 85

第6章 弧度法 88

6.1 角与旋转的弧度法 88

6.2 弧度表示法与距离 93

6.3 插曲：怎样向弟弟妹妹们解释弧度表示法 97

6.4 弧度表示法与计算器 98

6.5 一个重要的图 99

6.6 两个小奇迹 101

附录 弧度表示法的一些优点 102

第7章 加法公式 108

7.1 更多的恒等式 108

7.2 加法公式 109

7.3 加法公式的证明 110

7.4 第一个漂亮证明 111

7.5 第二个漂亮证明 113

附录 托勒密定理及其与加法公式的关系 116

第8章 三角恒等式 121

8.1 扩大恒等式的范围 121

8.2 解析延拓原理：高等数学来救场 121

8.3 回到我们的恒等式 124

8.4 tan(α+β)的一个公式 126

8.5 倍角公式 127

8.6 三倍角 129

8.7 sin(α/2)和cos(α/2)的公式的推导 130

8.8 tan(α/2)的另一个公式 133

8.9 积化和差 134

8.10 和差化积 135

附录 138

第9章 三角函数的图形 153

9.1 画基础的正弦曲线 153

9.2 函数y=sinx的周期 155

9.3 其他正弦曲线的周期 156

9.4 正弦曲线的振幅 158

9.5 平移正弦曲线 160

9.6 平移且拉伸 164

9.7 一些特殊的平移：半周期 165

9.8 画正切函数与余切函数 169

9.9 关于正弦函数之和的一个重要问题 170

9.10 正弦函数与余弦函数的线性组合 171

9.11 具有相同频率的正弦曲线的线性组合 174

9.12 不同频率函数的线性组合 176

9.13 求不同周期的正弦曲线之和的周期 178

9.14 傅里叶先生的一个发现 179

附录 182

第10章 反函数与三角方程 189

10.1 函数与反函数 189

10.2 反正弦：正弦函数的反函数 191

10.3 反函数作图 198

10.4 三角方程 200

10.5 一个更一般的三角方程 204

10.6 更复杂的三角方程 205

附录 奇迹揭秘 210

I. M. Gelfand（盖尔范特），出生于乌克兰的犹太裔乌克兰奥德萨省红窗市，是一位数学家、数学物理学家、生物学家。于1953年当选为苏联科学院通讯院士，1984年当选为院士．他于1966年至1970年任莫斯科数学会主席，现为该会名誉会员．他是许多著名科学院或学会的成员，其中有英国皇家学会、美国国家科学院、美国科学与艺术学院、巴黎科学院、瑞典皇家科学院．他还是牛津大学、哈佛大学、巴黎大学的名誉博士．在俄罗斯，他曾获一次列宁奖、两次国家奖。1978年首次颁发沃尔夫奖时，他与C．L．西格尔(Siegel)一起荣获沃尔夫数学奖。麻西南，中国科学技术大学数学科学学院教授，研究方向:微分方程。王作勤，中国科学技术大学数学科学学院教授，研究方向:微分几何。

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书籍介绍

《三角函数/盖尔范德中学生数学思维丛书》引自美国Springer出版社，是“盖尔范特初中数学新思维”系列丛书中的一本。《三角函数/盖尔范德中学生数学思维丛书》以提出问题、给出所有解题方法、讲解解题思路的顺序，将学生在初中阶段涉及的三角函数问题贯穿起来，让学生在理解概念的同时灵活应用。